第二十六章

而其他女孩的情况则显然没有林萱那么淡然。 一直习惯先写作文的江诗霜在拿到卷子后立即翻到最后准备看作文题目，然而，当她看到作文题目的时候整个人直接傻眼了。 “有人说，对于无穷数列{a_n}，若无穷数列{b_n}满足：对任意n∈N*，都有abs{b_n-a_n}<=1，则称{b_n}与{a_n}接近，也有人认为不尽如此。 对此，小明进行了如下的思考：{a_n}是一个公差为d的等差数列，{b_n}是一个与{a_n}接近的数列，且满足在b2-b1，b3-b2……b201-b200中至少有100个是正数。小明认为在这种情况下d的取值范围只能为d≥0，而小萱认为即使在d<0的情况下依然也存在可能。对此你怎么看？ 请以“接近与追逐”为主题，要求： （1）自选角度，确定立意，自拟标题； （2）文体不限（诗歌除外），字数不少于800字； （3）不得抄袭，不得套作。” 这到底是数学压轴还是语文作文呀！不对这好像就是某年的高考数学压轴吧！老师到底是怎么出这种奇葩题目的？ 当江诗霜以为作文这样已经很离谱的时候，她又往上看了倒数第二题，传统意义上的圆锥曲线压轴题。 “笛卡尔在《解析几何》中论词之境界，有“Seeing an ellipse as round； seeing an ellipse not as round； seeing an ellipse as round still.”三境。 现在，在平面直角坐标系 xOy 中，存在椭圆 C： x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)。 （1）第一境：看椭圆是圆 在此境界中，我们通过一种“视角变换”，将椭圆视为其最完美、最和谐的形态——圆。 定义一种几何变换 φ：将平面上任意一点 P(x， y) 变换为点 P'(x'， y')，其中 x' = x， y' = (a/b)y。 请证明：当点 P(x， y) 在椭圆 C 上运动时，其变换后的点 P' 的轨迹是一个圆。并写出该圆的方程。（4分） （2）第二境：看椭圆不是圆 脱离了第一境的和谐视角，我们需要直面椭圆的“不完美”——它不再处处对称，有了长短轴之分，有了两个焦点。 这些特性构成了它独特的几何美学。 设椭圆 C 的离心率 e = 1/2，其右焦点为 F，上顶点为 B。已知点 F 与点 B 之间的距离为 2。 2-1 求椭圆 C 的标准方程。（6分） 2-2 设直线 l： y = kx + m 与椭圆 C 交于 A、D 两点，且 k_OA + k_OD = 1（其中 O 为坐标原点）。 试问：△OAD 的面积是否存在最大值？ 若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。 （8分） （3）第三境：看椭圆还是圆 在经历了椭圆非圆的种种复杂性质后，我们回归本源，试图在椭圆的内在结构中，寻找一种超越形态的、如圆一般和谐的秩序与规律。 设 P、Q 是第二境中所求椭圆 C 上的任意两个不同点，且 P、Q 均不为椭圆的左、右顶点。 记椭圆的右顶点为 M。 如果直线 PQ 的斜率不为0，且恒过定点 F(1，0)，证明：直线 MP 与直线 MQ 的斜率之积为定值。 （12分） （4）第三境中所求得的定值揭示了一种隐藏在椭圆内部的“类圆”不变性，仿佛在说：形态虽异，其理则一。 请谈谈你从“看椭圆是圆”到“看椭圆还是圆”这一过程中获得的数学感悟。 （15分） （5）附加题：现在你们深入了解椭圆了，请仿照圆的面积与周长公式，写出椭圆的面积与周长公式吧（20分）” “……” 在看到作文题目的时候她完全是傻的，而圆锥曲线压轴则更是离谱他妈给离谱开门，离谱到家了。 虽然她大概能理解老师是准备将圆锥曲线与那“看山不是山”的三重境界结合一下，但题目能出成这样还是太离谱了。 “这卷子真的是给人类做的吗？”江诗霜轻声地嘀咕道。 不过，她可是江诗霜，本来就思维异于常人的天才少女。 虽然圆锥曲线题暂时没什么思路，那些复杂的计算她也完全算不明白，但是作文，可一直是自己的长项呀！ 该发挥一下自己的天赋好好填满这份卷子了。 在跳蛋的刺激下她感觉自己仿佛灵感爆发，那因为快感而颤抖的右手此时紧握着水笔，在答题纸上书写起了华丽的文章——《在负斜率世界中的向上步履》 “数学之镜常映照人生深意。在关于数列“接近”的讨论之中，小明执于表象，坚信唯有d≥0，等差数列方能在被“接近”时保持差分正多之态；而小萱则窥见深渊微光，洞察即使d<0，希望仍未湮灭。这不仅是数学形式的巧妙辩难，更揭示存在本质的隐喻：在一个整体沉沦的世界中（d<0），个体是否仍能保有局部向上的姿态（差分多项为正）？换言之，当命运的斜坡无可挽回地向下倾斜，我们是否仍能选择以向上的步履追逐星光？常人所能理解的“接近”，多为静态的、无方向的毗邻。然而小萱所见的“接近”，却是一种动态的、充满张力的“追逐”……” 在跳蛋的辅助下，江诗霜可谓是越写越起劲，她似乎已经完全进入到了状态之中，一边哼着小曲，一边抖着双腿，似乎让自己的身体与小穴内的那枚跳蛋同步震动着，在这不断地震动之中，她的灵感宛若爱液一般不断涌出，她似乎看到了神话传说中不断推着石头的西西弗斯，她似乎看到了人类文明长河之中那“属于d<0”的黑暗时代，她看见了题目里属于{b_n}那宛若西西弗斯一般的挣扎，也看见了小萱更近一步的认知，于此，沉重的命运被轻盈的超越所穿透。而她的身体，也在这一时刻达到了高潮。 那是理解的高潮，那是一种仿佛触及到了真理一般的高潮。 当江诗霜写完作文的最后一个字收笔的时候，她宛若收刀入鞘的战士一般，也在考场上释放出了独属于她的那一份胜利。 “嗯啊啊啊——” 江诗霜的高潮声打破了考场的寂静，所有同学的目光都无一例外地聚焦到了她的身上。 然而，正当她沉浸于高潮的喜悦，欣赏着她写下的那篇承载着思考与幻想的作文之时，监考老师来到了她的身边。 “考场上不得大声说话，更不准在高潮的时候喊出来影响其他人考试。你，给我站到后面去！”